设X为非空集合.
为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑
使得.
恰为拓扑空间
的全体闭集构成的集族.
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第1题
相应的定理.
解:定义:设X为非空集合,映射
.如果满足条件:对于X的任意子集A,B,
则称为集合X的内部运算.
定理:若i°为非空集合X的内部运算,则存在唯一的拓扑
使得对于每一
i(A).
第2题
设X为拓扑空间.
为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素
使得
证明
为道路连通子集.
第3题
设X是一个集合.则X的子集族
是X的同一拓扑的两个基的充分条件是
满足条件:
(1)若
,则存在
使得
;
(2)若
,则存在
使得
.
第4题
设
是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令
是Xn的一个子集族,使得U⊂Xn是.
的一个元素当且仅当或者
或者Xn- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.
(1)
是Xn的一个拓扑;
(2)拓扑空间
是一个
空间.
第5题
设X,Y为拓扑空间,
为X的开集族并且
证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意
为连续映射.
第7题
设f(x)定义于-∞＜x＜+∞，满足条件
|f(x0)-f(x2)|≤N|x1-x2|，
其中N＜1，证明方程x=f(x)存在唯一的一个解。
第8题
设f(x)为[0,1]上的非负单调非增连续函数(即当x＜y时,f(x)≥f(y)).利用积分中值
定理证明:对于0＜a＜β＜1.有下面的不等式成立
第10题
设
为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员
使得
不是隔离的子集,则
为连通子集.
并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.
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证明：X是距离空间。
