设R是集合A上的对称和传递关系,证明:如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在一个b.使＜ a,b ＞在R之中.则R是一个等价关系。

指出下面命题证明中的错误．

命题：设R是集合A上的对称、传递的关系，则R是自反的．

证明：设x∈A，根据对称性由〈x，y〉∈R得到〈y，x〉∈R，再使用传递性得到〈x，x〉∈R．从而证明了R的自反性．

设R是A上的对称关系，证明R的传递闭包t(R)也是A上的对称关系。又如果R是A上的反对称关系，那么R的传递闭包t(R)也一定是反对称的吗？

设{A₁，A₂，…，A_k}是集合A的一个划分，定义A上的一个二元关系R，使〈a，b〉∈R当且仅当a和b在这个划分的同一块中，证明：R是自反的、对称的和可传递的．

设R为A上的三元关系,称R为连续的,如果对每一个均有使aRb.

证明:当R是连续、对称传递的时,R为等价关系.

设R是集合S王的关系,上的关系R'如下:.确定下述各断言的真假:

(1)如果R是传递的,则R'是传递的.

(2)如果R为序关系,则R'也是序关系.

设R是集合A上的一个任意关系，R⁺=t(R)，R^*=t(r(R))，证明：

设R为集合X上的二元关系，R在X上是反传递的定义为：若＜ x,y ＞∈R,＜ y,z ＞∈R，则证明：R是反传递的，当且仅当.

设R是A上自反的关系，

(1)证明R·R^-1是A上的自反关系.

(2)证明R·R^-1是A上的对称关系.

(3)R·R^-1是否为A上的传递关系？如果是,给出证明;如果不是,给出反例。

A.若R和S是自反的，则 R。S也是自反的

B.若R和S是反自反的，则 R。S也是反自反的

C.若R和S是对称的，则 R。S也是对称的

D.若R和S是传递的，则 R。S也是传递的