设A=（aij)n×n，B（bij)n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=（aijbij)n×n也是正定矩阵.设A=(a_ij)_n×n，B(b_ij)_n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=(a_ijb_ij)_n×n也是正定矩阵.

参考答案：证 首先，由C的(j，i)元素=a_jib_ji=a_ijb_ij=C的(i，j)元素，知C为对称矩阵.
 由B正定，存在可逆矩阵M=(m_ij)_n×n，使得B=M^TM，即(i，j=1，2，…，n).对于x=(x₁，x₂，…，x_n)T≠0，有
 
 
 
 
 其中
 yk=(m_k1x₁，m_k2x₂，…，m_knx_n)^T
 为矩阵
   (5-21)
 的第k列(k=1，2，…，n).由于x1，x2，…，xn不全为零及M^T可逆，所以(5-21)式中的矩阵不是零矩阵，因而它至少有一列向量yi≠0，注意A为正定矩阵，故有，而当k≠i时，有，故当x≠0时，有
 
 所以C为正定矩阵.本题证明的思路，是将二次型x^TCx写成n个以A为矩阵的二次型(k=1，2，…，n)之和，由A正定知对任意y_k有，若j_i≠0，则有，于是再证当x≠0时，至少有-y_i≠0，从而得x^TAx＞0.