设A是距离空间X中的一个非空集合. 试证： 1、A的内部是开集，并且是包含于A的最大开集; 2、A的闭包是闭集，并且是包含A的最小闭集.

ρ(x，y)显然满足非负性与对称性。当ρ(x，y)=0时， ρ(x，y，)≤ρ(x，z)+ρ(y，z) 成立。 当ρ(x，y)=1时，对任何z∈x，式x≠z与y≠z中至少有一个成立， 从而 ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z) 成立，所以三角不等式成立。 综上知，X是距离空间。