设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数证明:群G有且只有一个2阶子群

设G是np阶群(p是素数)．证明：若n＜p，则G有p阶正规子群．

设K是群G的一个有限正规子群，P是K的一个SylowP一子群．证明：G=N(P)K．

设G是一个有限群，P是G的一个Sylow p一子群，H是G的一个p子群．证明：若

．

设P是有限群G的一个Sylow P-子群．证明：若G有子群H包含N(P)，则N(H)=H．

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.