设f(x)是上几乎处处大于零的可测函数,且满足,试证明m(E)=0.
设f(x)是上几乎处处大于零的可测函数,且满足,试证明m(E)=0.
设f(x)是上几乎处处大于零的可测函数,且满足,试证明m(E)=0.
第1题
设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数,m(E)<+∞,试证明对任意的ε>0,存在E上的有界可测函数g(x),使得
m({x∈E:|f(x)-g(x)|>0})<ε.
第2题
试证明:
设f(x),f1(x),…,fk(x),…是[a,b]上几乎处处有限的可测函数,且有,a.e.x∈[a,b],则存在(n=1,2,…),使得
,
而{fk(x)}在每个En上一致收敛于f(x).
第3题
设f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上几乎处处有限的可测函数,且m(E)<∞,若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)},试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x).
第4题
设f(x),g(x)都是E上可测函数,g(x)∈L,且在E上几乎处处成立f(x)≤g(x)。问f(x)是否可积?
第5题
设f(x),fn(x)(n∈N)均是E上的可积函数,fn(x)几乎处处收敛于fn→∞且
试证:对任意可测子集,有
第6题
第9题
设mE<∞,在E上几乎处处有限的可测函数列fn(x)与gn(x)分别测度收敛于f(x)与g(x)。试证:fn(x)gn(x)测度收敛于f(x)g(x)。
第10题
设f∈C([a,b]).若有定义在[a,b]上的函数g(x):g(x)=f(x),a.e.x∈[a,b],试问g(x)在[a,b]上必是几乎处处连续的吗?
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