题目内容（请给出正确答案）

[主观题]

设mE＜∞，在E上几乎处处有限的可测函数列fn（x)与gn（x)分别测度收敛于f（x)与g（x)。试证：fn（x)gn（x)测度收敛于f（

设mE＜∞，在E上几乎处处有限的可测函数列f_n(x)与g_n(x)分别测度收敛于f(x)与g(x)。试证：f_n(x)g_n(x)测度收敛于f(x)g(x)。

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更多“设mE＜∞，在E上几乎处处有限的可测函数列fn（x)与gn（…”相关的问题

第1题

设mE＞0，fn（x)是E上几乎处处有限的可测函数列，而当n→∞时fn（x)在E上几乎处处收敛，则存在常数C与正测度集，使在

设mE＞0，f_n(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，而当n→∞时f_n(x)在E上几乎处处收敛，则存在常数C与正测度集设mE＞0，fn（x)是E上几乎处处有限的可测函数列，而当n→∞时fn（x)在E上几乎处处收敛，则存，使在E₀上，对一切n有|f_n(x)|≤C。

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第2题

设f，fn（n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，并且试证：

设f，f_n(n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，

并且

$设f，fn（n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，并且试证：设f，fn(n∈N$

试证： $设f，fn（n∈N)均是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，并且试证：设f，fn(n∈N$

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第3题

设f（x)，f1（x)，f2（x)，…，fk（x)，…是E上几乎处处有限的可测函数，且m（E)＜∞，若在{fk（x)}的任一子列{fki（x)}中均存

设f(x)，f₁(x)，f₂(x)，…，f_k(x)，…是E上几乎处处有限的可测函数，且m(E)＜∞，若在{f_k(x)}的任一子列{f_{k_i}(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{f_k(x)}，试证明{f_k(x)}在E上依测度收敛于f(x)．

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第4题

设f（x)是上几乎处处有限的可测函数，m（E)＜＋∞，试证明对任意的ε＞0，存在E上的有界可测函数g（x)，使得 m（{x∈E：|f

设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，m(E)＜+∞，试证明对任意的ε＞0，存在E上的有界可测函数g(x)，使得

m({x∈E：|f(x)-g(x)|＞0})＜ε．

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第5题

试证明：设f（x)，f1（x)，…，fk（x)，…是[a，b]上几乎处处有限的可测函数，且有，a．e．x∈[a，b]，则存在（n=1，2，…)，使得

试证明：

设f(x)，f₁(x)，…，f_k(x)，…是[a，b]上几乎处处有限的可测函数，且有试证明：设f（x)，f1（x)，…，fk（x)，…是[a，b]上几乎处处有限的可测函数，且有，a ，a．e．x∈[a，b]，则存在(n=1，2，…)，使得

试证明：设f（x)，f1（x)，…，fk（x)，…是[a，b]上几乎处处有限的可测函数，且有，a ，

而{f_k(x)}在每个E_n上一致收敛于f(x)．

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第6题

设{f_n(x)}是E上有限可测函数列且m(E)<+∞.求证:在E上几乎处处成立的充要条件是在E上,g_n⌘

设{f_n（x)}是E上有限可测函数列且m（E)<+∞.求证:在e上几乎处处成立的充要条件是在e上,g_{n⌘设{f_n(x)}是E上有限可测函数列且m(E)<+∞.求证:在E上几乎处处成立的充要条件是在E上,g_n=＞0,其中}

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第7题

设f是定义于E=[a,b]上的几乎处处有限的可测函数.证明:(1)定义于(-∞,∞).上的函数F:F(t)=m({x:f＞t})是单调减少的右连续函数;(2)定义于[a,b]上的函数G:G(x)=sup{t|F(t)+a＞x}对任何实数t,下式成立:m({x|G＞t})=m({x|f＞t}).

设f是定义于E=[a,b]上的几乎处处有限的可测函数.证明:（1)定义于（-∞,∞).上的函数F:F（t)=m（{x:f＞t})是单调减少的右连续函数;（2)定义于[a,b]上的函数G:G（x)=sup{t|F（t)+a＞x}对任何实数t,下式成立:m（{x|G＞t})=m（{x|f＞t}).

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第8题

设mE<∞,几乎处处有限的可测函数列f(x)和g_n(x),n=1,2.,...,分别依测度收敛于f(x)和g(x),证

设mE<∞,几乎处处有限的可测函数列f（x)和g_n（x),n=1,2.,...,分别依测度收敛于f（x)和g（x),证

明:

设mEn（x),n=1,2.,...,分别依测度收敛于f（x)和g（x),证设mEn(x),n=1,

(提示:(1)可用第12题证明)

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第9题

设f（x)，g（x)都是E上可测函数，g（x)∈L，且在E上几乎处处成立f（x)≤g（x)。问f（x)是否可积？

设f(x)，g(x)都是E上可测函数，g(x)∈L，且在E上几乎处处成立f(x)≤g(x)。问f(x)是否可积？

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第10题

设f（x)是上几乎处处大于零的可测函数，且满足，试证明m（E)=0．

设f(x)是 $设f（x)是上几乎处处大于零的可测函数，且满足，试证明m（E)=0．设f(x)是上几乎处处大于零的可$ 上几乎处处大于零的可测函数，且满足 $设f（x)是上几乎处处大于零的可测函数，且满足，试证明m（E)=0．设f(x)是上几乎处处大于零的可$ ，试证明m(E)=0．

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