对于谐振子的能量本征态|n〉，计算x、p、x2、p2的平均值及△x、△p．

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

考虑一个二维谐振子，其Hamilton量为．已知其最低三个能量本征态为

设该二维谐振子又受到一微扰作用，其中．试对上述状态计算由V引起的一级微扰修正．

一维谐振子的相于态|z〉定义为湮灭算符a的本征态，即

a|z〉=z|z〉，

其中z为复数，而湮灭算符a如下给出

其中，而m、ω分别为谐振子的质量、频率．(1)试求解该相干态的坐标表象波函数；(2)试对该相干态计算Δx·Δp．

一维谐振子的湮灭算符(自然单位)的本征方程表示为a|α〉=a|α〉，|α〉可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，|α〉=．试证明：归一化的本征态|α〉可以表示为

其中|α〉称为谐振子的相干态．

证明是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量，式中A为归一化常数，

二维各向同性谐振子，势能为

μ为粒子质量。(a)在直角坐标系(x，y)中写出能级和能量本征函数，讨论本征态的宁称和简并度;(b)在平面极坐标系(ρ，φ)中求能级和能量本征函数。