设R、S、T为集合X上的关系，证明：

设R,S和T为集合A上的关系,若证明。

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

设R是集合A上的一个任意关系，R⁺=t(R)，R^*=t(r(R))，证明：

设A={1，2，3，4，5，6}，R为A上的关系，R的关系图如图7.10所示。

(1)求R²，R³的集合表达式。

(2)求r(R)，s(R)，t(R)的集合表达式。

设论述域是具有如下定义的谓词的数学断言的集合：

P(x)表示“x是可证明的”;

T(x)表示“x是真的”;

S(r)表示“x是可满足的”;

D(x, y, z)表示“z是析取式xVy”,

翻译下列断言为中文，使我们翻译尽可能自然。例如译成“如果y是断言wVx,z是断言:xVw,并且y是可证明的，那么z是可证明的”.

指出下面命题证明中的错误．

命题：设R是集合A上的对称、传递的关系，则R是自反的．

证明：设x∈A，根据对称性由〈x，y〉∈R得到〈y，x〉∈R，再使用传递性得到〈x，x〉∈R．从而证明了R的自反性．

设R是集合A上的关系,构造A上的关系S如下:对于任意x,y∈A,，要使得S是等价关系,关系R必须满足哪些性质？