设＜ G,*＞是一个群，且a∈G,如果对于每一个x∈G,有a*x=r*a,则由这样的元素a可以构成一个集合S。试证明＜ S,*＞是群＜ G,*＞的子群。

设(G，*)是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是单位元．证明：(G，*)是一个阿贝尔群．

设(G，△)是一个群，而a∈G．如果f是从G到G的映射，使得对于每一个x∈G，都有f(x)=a△x△a^-1，证明：f是从G到G的自同构．

设u是群(G，)中给定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义一个新的运算“*”：对任意a，b∈G，．试证明(G，*)也是一个群。

设(H，*)是群(G，*)的子群，a属于G，证明（aH（a-1）)属于G的子群。

设(H，*)是群(G，*)的子群，如果A={x|x∈G，x*H*x^-1=H}，证明(A，*)是(G，*)的一个子群．

设u是群(G，+)中取定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义运算*为：对任意a，b∈G，a*b=a*u^-1*b，试证明(G，*)也是一个群．

设(G，*)是一个群，a，b∈G且(a*b)²=a²*b²．试证明：a*b=b*a．

设(G，*)是群，如果对于群G中任意元素a、b都有(a*b)^-1=a^-1*b^-1，证明(G，*)是阿贝尔群。

设f和g都是群(G₁，★)到群(G₂，*)的同态映射，证明：(C，★)是(G₁，★)的一个子群，其中，C={x|x∈G₁，且f(x)=g(x)}．

设＜G,+＞是Abel群,EndG是G的所有自同态的集合，f,g∈EndG定义+和○运算:a∈G,

证明EndG关于+和○构成一个环.