本题的目的在于证明任何一个周期信号用傅里叶级数,或更一般地用任何一组正交函数的线性组合来
其中a;是常数(一般为复数)。为了度量x(t)与级数近似之间的差别,定义误差eN(t)为
对于衡量近似的好坏,一种合理并广泛应用的准则是所研究区间上误差信号的能量:也就是在区间a≤t≤b上,误差信号模平方的积分
(a)证明,当选择
时,E达到最小值。
提示:利用式(P3.66-1)~式(P3.66一3),以a1,Φ1(t)和x(t)表示E,然后按照ai=bi+jci把ai表示成笛卡儿坐标形式,并证明式(P3.66-4)所给定的ai满足下列各式:
(b)若
而且,|Φi(t) |是正交的,但不是归一化正交的,问(a)的结果将有何变化?
(c)设中,Φn(t)=ejnω0t并选任何一个长度为T0=2/ω0,的区间,证明:使E最小的ai由式(3.50)给出。
(d) 沃尔什(Wash) 函数集是一个经常用到的归一化正交函数集(见习题2.66) , 它的前5个函数Φ0(t),Φ1(t),..,Φ2(t)如图3-20所示。在此已对时间进行了归一化,使得Φi(t)在区间0≤t≤1上为非零,而
且在该区间上归一化正交。设x(t) =sinπt, 求出形式为
的x(t)的近似式,使得
达到最小。
(e)证明:如果a依式(P3.66-4)选取,则式(P3.66-1)中的 和式(P3.66―2)中的eN(t)是正交的。
(a)和(b)的结果是极其重要的。这些结果表明,在i≠j时,每个系数a对其他所有的a都是独立的。因而,如果给近似式增添更多的项,例如计算近似式,那么先前已经确定的中Φi(t),i=1,…,N的系数将不会改变。与此作为对比的是泰勒(Taylor) 级数的多项式展开。e1的无穷泰勒级数由式e1=1+t+t2/2!+…给出,后文将要指出,当研究一个有限项多项式级数和式(P3.66-3)的误差准则时,就会得到一个完全不同的结果。
具体而言,令Φ0(t)=1,Φ1(t)=t,Φ2(t)=t2等等.
(f)在区间0≤t≤1上这些Φ1(t)是正交的吗?
(g) 考虑x(t) =e在区间0≤t≤1上的近似式, 其形式为xo(t) =ao do(t) 求使误差信号在该区间内的能量为最小的a0值。
(h)现在希望用泰勒级数近似e,并只取两项,即划,求出a0和a1的最佳值。
![](https://lstatic.shangxueba.com/sxbcn/h5/images/tips_org.png)