试证明,在环R中,如对某两元素a,b有ab=ba,那么（1)ab^-1=b^-1（假定b^-1存在);（2)a（-b)=（-b)a.

如果环R中元素a满足a2=a，则称a为R的幂等元．如果环R中每个元素都是幂等元，则称R为布尔(G．Boole，18151864)环． 证明：布尔环是交换环，而且其中任何元素a都有 a+a=0．

证明： 1)若环R有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群； 2)环R的元素a≠0是正则元

由axa=0可得x=0．

设h是从半群的同态,若a是S中的等幂元素,试证明T中也存在等幂元素。

给定两正数a₁与b₁(a₁＞b₁),作出其等差中项,,一般地令

证明:

设是一个格,这里|L|＞1,试证明如果拥有元素1和0,则这两元素必定是不同的。