设＜ G,·＞是有限交换群,a是G的m阶元,b是G的n阶元,且GCD（n,m)=1，则a·b的阶为m*n。

设群G是阶为n的有限群，则群G的所有元素的阶都不超过n。()

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

有限群G的阶为n，H是G的子群，则H的阶必除尽G的阶。()

设群G中元素a的阶是mn，且(m，n)=1．证明：在G中存在元素b，c使 a=bc=cb， |b|=m， |c|=n， 并且这样的元素b，c是惟一的．

证明：pm(p是素数，m是正整数)阶群G必含有p阶元，而且p阶元的个数是p-1的倍数．

G是有限群，x是G的元素，则x的阶必除尽G的阶。()

设G是np阶群(p是素数)．证明：若n＜p，则G有p阶正规子群．

设(G，*)是偶数阶群，证明在G中必存在非幺元a，使得a*a=e。