设＜ R,+,·＞是一个环，且对所有a∈R有a²=a，这样的环称为布尔环。 （a)证明＜ R,+,·＞是个可交换环。 （b)证明对于所有的a∈R,有a+a=0， （c)试证明,如果|R|＞2,则＜ R,+,·＞不可能是个整环。

令R是一个有单位元的交换环，N是R的全体幂零元作成的集合．证明：

且商环R／N不含非零幂零元．

设(A，+，·)是一个环，并且对于任意的a∈A，都有a·a=a，此环称为布尔环．

证明：(1)对于任意的a∈A，都有a+a=0，其中0是加法单位元素；

(2)(A，+，·)是可交换环．

设(R，+，×)是一个环，证明：如果a，b∈R，则(a+b)²=a²+a×b+b×a+b²．其中x²=x×x．

若环R适合：，a²=a，证明：

，a+a=0 (2)R是交换环

设(A，+，·)是一个环，并且对于任意的a∈A，都有a·a=a，这个环称布尔环,证明：

设N是环R到环R的同态满射φ的核．证明： φ是同构映射

N={0}．

若环R适合:a∈R,a²=a,证明:

(1)a∈R,a+a=0 (2)R是交换环

设是一个环,证明:如果a,b∈R,则。其中,x²=x‧x.

证明： 1)若环R有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群； 2)环R的元素a≠0是正则元

由axa=0可得x=0．