设G为群，a是G中的2阶元，证明G中与a可交换的元素构成G的子群。

设a是群的任意一个元素,G（a)为所有与a可交换的元素组成的集合,证明的子群.

设G是一个阶数大于2的群，且G的每个元素都满足方程x2=e．证明：G必含有4阶子群．

若群G中只有一个2阶元，则这个2阶元一定与G中所有元素可交换．

设＜ G,*＞是一个偶数阶的群，设＜ H,*＞是＜ G,*＞的一个子群，这里|H|=|G|/2，证明＜ H,*＞是正规子群。

设群G中元素a的阶为n．证明： as=atn|（s—t)．

设G是np阶群（p是素数)．证明：若n＜p，则G有p阶正规子群．

设Ⅱ是群G的子群,x∈G,令证证明是G的子群，称为II的共轭子群.

设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数证明:群G有且只有一个2阶子群

设＜ G,*＞是一个群，且a∈G,如果对于每一个x∈G,有a*x=r*a,则由这样的元素a可以构成一个集合S。试证明＜ S,*＞是群＜ G,*＞的子群。

（1)设G={0，1，2，3}，若☉为模4乘法，则＜G，☉＞构成Ⓐ。（2)若⊕为模4加法，则＜G，⊕＞是Ⓑ阶群，且是Ⓒ。G中的2阶元是Ⓓ，4阶元是Ⓔ。供选择的答案A：①群;②半群，不是群。B：③有限;④无限。C：⑤Klein四元群;⑥置换群;⑦循环群。D，E：⑧0;⑨1和3;⑩2。

设G是有限群，K是G的子群, H是K的子群，证明[G:H]=[G:K][K:H]