V=＜R⁺，•＞，其中R⁺为非零实数集，•为普通乘法，判断下面的哪些函数是V的自同态，是否为

设V=＜R+，·＞，其中·为普通乘法，对任意x∈R⁺，令φ₁(x)=|x|，φ₂(x)=2x，φ₃(x)=x²，φ₄(x)=1/x，φ₅(x)=-x，则其中有Ⓐ个是V的自同态，它们是Ⓑ，有Ⓒ个是单自同态而不是满自同态，Ⓓ个是满自同态而不是单自同态，Ⓔ个是自同构。

设V=＜Z，+＞，其中+为普通加法，x∈Z，令φ₁(x)=x，φ₂(x)=0，φ₃(x)=x+5，φ₄(x)=2x，φ₅(x)=x²，φ₆(x)=-x，则φ₁，...，φ₆中有Ⓐ个是V的自同态，其中Ⓑ个不是V的自同构，Ⓒ个只是单自同态不是满自同态，Ⓓ个是满自同态不是单自同态。零同态的同态像是Ⓔ。

A、f和g都是V上的自同态映射

B、g和h都是V上的自同态映射

C、f、g和h都是V上的自同态映射

D、只有f是V上的自同态映射

证明：加群G的全体自同态对于以下运算

作成一个有单位元的环(称为加群G的自同态环)。

判断以下映射是否为同态映射，如果是，说明它是否为单同态和满同态。

(1)G为群，φ：G→G，φ(x)=e，x∈G，其中e是G的幺元。

(2)G=＜Z，+＞为整数加群，φ：G→G，φ(n)=2n，n∈Z。

(3)G₁=＜R，+＞，G₂=＜R⁺，·＞，其中R为实数集，R⁺为正实数集，+和·分别为普通加法和乘法。φ：G₁→G₂，ψ(x)=e^x，x∈R。

A.〈Q-{0},×〉，其中Q为有理数集，×为普通乘法

B.〈G,•〉，其中G={所有n阶可逆方阵}，•是G上的矩阵乘法运算

C.〈R,+〉其中R为实数集，+为普通加法

D.〈Z,+〉,其中Z为整数集，+为普通加法

设f：R→R，R为实数集，对下面各个f，判断它是否为单射、满射或双射的．如果它不是单射的，给出x₁和x₂，使得x₁≠x₂但f(x₁)=f(x₂)．如果它不是满射的，计算f(R)．

A.满射，非单射

B.单射，非满射

C.双射

D.非单射，非满射