谐振子的基态波函数为其中A,a为常量。将此式代人原书式（27. 48)的薛定谔方程。试根据所得出的

一维简谐振子的波函数为

(1)求证：波函数满足一维简谐振子的薛定谔方程(15-68);

(2)确定波函数中的b值和简谐振子的能量;

(3)与这一能量对应的是基态还是第一激发态？

设一维谐振子初态为，即基态与第一激发态的叠加，其中θ为实参数．

(1)试计算t时刻的波函数ψ(x，t)；

对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，λ为参数．试用变分法求基态能量，并与严格解比较．

设一维谐振子的初态为，即基态与第一激发态叠加，其中为实参数。

(1)求t时刻的波函数。

(2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率。

(3)求演化成所需的最短时间。

电荷e的谐振子，在t=0时处于基态，t＞0时处于弱电场之中(τ为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。

设一维简谐振子的初始(t=0)波函数为中其中为简谐振子的三个(n=0，1，2)最低能量的定态波函数，试求

(1)系数A=？

(2)t时刻的波函数φ(x， t)

(3)t时刻的能量平均值。

一维谐振子处在基态求:

(3)动量的几率分布函数。

质量为m的粒子处于一维谐振子势中，在t=0时刻其初态分别为Ψ₁(x)=ψ₀(x)，Ψ₂(x)=ψ₁(x)，Ψ₃(x)=ψ₀(x)+iψ₁(x)，其中ψ₀、ψ₁分别为谐振子的归一化基态与第一激发态．试分别求在此后t＞0时刻(a)粒子的波函数；(b)位置期望值；(c)动量期望值．

在谐振子的基态发现粒子处于经典理论所允许的范围之外的概率是多少(精确到小数点后三位数)？提示:经典谐振子的能量是E=(1/2)ka²=(1/2)m²a²其中a是振幅.所以一个具有能量E的谐振子的“经典允许范围”是从到.参考数学手册中“正态分布”或“误差函数”的数值积分.

设氢原子处在波函数为的基态，a₁为玻尔第一半径，试求势能的平均值．