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[主观题]

设H为Hilbert空间，{xn}为H的正交序列。求证：∑xn在H中收敛当且仅当∑‖xn‖2﹤∞

设H为Hilbert空间，{x_n}为H的正交序列。求证：∑x_n在H中收敛当且仅当∑‖x_n‖²﹤∞

答案

令
s_n=x₁+x₂+…+x_n， t_n=‖x₁‖²+‖x₂‖²+…+‖x_n‖²
则对于n＞m由正交性有

因此

这就证明了{s_n}为H的柯西列当且仅当{t_n}为

的柯西列。又由于H为Hilbert空间，所以{s_n}在H中收敛当且仅当{t_n}在

中收敛。这就完成了证明。

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第1题

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第2题

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设H为可分Hilbert空间，求证：

(a)H的每一标准正交集必为可数的。

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第3题

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设A为Hilbert空间H上的有界线性算子,A*为A的共轭算子,证明

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第5题

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第6题

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设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。

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第7题

设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:(1)F为完全规范正交系;(2)E=H;(3)对任意x∈H,有(4)对任意x,y∈H,有

设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:（1)F为完全规范正交系;（2)E=H;（3)对任意x∈H,有（4)对任意x,y∈H,有

设H为Hilbert空间, 设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:（1)F为完全规范正交系;（2)E=H 是H中规范正交列,试证下列命题等价:

(1)F为完全规范正交系;

(2)E=H;

(3)对任意x∈H,有设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:（1)F为完全规范正交系;（2)E=H

(4)对任意x,y∈H,有设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:（1)F为完全规范正交系;（2)E=H

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第8题

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设H是Hilbert空间,M是H的闭子空间,x0∈H,证明:

设H是Hilbert空间,M是H的闭子空间,x0∈H,证明:请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

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第9题

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第11题

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