题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设H，K是群G的两个有限正规子群，并且（H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群
设H，K是群G的两个有限正规子群，并且(H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群．
答案
因为H ∩ K≤HH ∩ K≤K而H与K又都是有限子群故
|H ∩ K|||H||H ∩ K|||K|．
从而|H ∩ K |||(|H||K|)．但由题设(|H||K|)=1故
|H ∩ K|=1 H ∩ K={e}．
任取ab∈G则由于商群G／H和G／K都是交换群故
abH=baH abK=baK．
且a-1b-1ab∈Ha-1b-1ab∈K从而
a-1b-1ab∈H ∩ K={e}a-1b-1ab=eab=ba．
即G是交换群．
因为H∩K≤H,H∩K≤K,而H与K又都是有限子群,故|H∩K|||H|,|H∩K|||K|．从而|H∩K|||(|H|,|K|)．但由题设(|H|,|K|)=1,故|H∩K|=1,H∩K={e}．任取a,b∈G,则由于商群G／H和G／K都是交换群,故abH=baH,abK=baK．且a-1b-1ab∈H,a-1b-1ab∈K,从而a-1b-1ab∈H∩K={e},a-1b-1ab=e,ab=ba．即G是交换群．
因为H∩K≤H,H∩K≤K,而H与K又都是有限子群,故|H∩K|||H|,|H∩K|||K|．从而|H∩K|||(|H|,|K|)．但由题设(|H|,|K|)=1,故|H∩K|=1,H∩K={e}．任取a,b∈G,则由于商群G／H和G／K都是交换群,故abH=baH,abK=baK．且a-1b-1ab∈H,a-1b-1ab∈K,从而a-1b-1ab∈H∩K={e},a-1b-1ab=e,ab=ba．即G是交换群．
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证＜ H,*＞是正规子群。
