如果函数y= f（x)在x0处 ，则x0是其极值点.

（1） f′(x)=a? e a x +(ax-b)(- a x 2 )? e a x 令f'（x）=0得x 2 -ax+b=0 ∵函数f（x）总存在有两个极值点 ∴x 2 -ax+b=0由2个不同的实数根 ∴a 2 -4b＞0 又∵a≠0且x≠0 ∴ b＜ a 2 4 且b≠0 （3分） （2）x 2 -ax+b=0在（-1，1）有两个不相等的实根． 即 △= a 2 -4b＞0 -1＜ a 2 ＜1 1+a+b＞0 1-a+b＞0 得 4b＞ a 2 a 2 ＜4 b＜-1 ∴-1＜b＜1且b≠0（7分） （3）由①f'（x）=0?x 2 -ax+b=0（x≠0） ①当 b=0f′(x)=a? e a x ? x 2 -ax+b x 2 在x=a左右两边异号 ∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一个极值点 由题意知 -1＜a＜1且a≠0 -e＜( a 2 -b)e＜e 即 0＜ a 2 ＜1 -1＜ a 2 ＜1 即0＜a 2 ＜1 存在这样的a的满足题意 ∴b=0符合题意（9分） ②当b≠0时，f′（x）= a?e a x x 2 ( x 2 -ax+b) △=a 2 -4b=0即4b=a 2 这里函数y=f（x）唯一的一个驻点为 ( a 2 ，f( a 2 )) 由题意 | 1 2 a|＜1且a≠0 -e＜ a 2 2 -b＜e 即 0＜ a 2 ＜4 - e 1 2 ＜ a 2 2 -b＜ e 1 2 即 0＜4b＜4 - e 1 2 ＜b＜ e 1 2 ∴0＜b＜1（13分） 综上知：满足题意b的范围为b∈[0，1）．（14分）