设函数列fn（x)在E上测度收敛于f（x)，且在E上几乎处处有fn（x)≤g（x)，n∈N。试证：在E上几乎处处有 f（x)≤g（x)

设函数列f_n(x)在E上测度收敛于f(x)，且几乎处处有

f_n(x)≤f_n+1(x)， n∈N，

证明f_n(x)几乎处处收敛于f(x)。

设mE＜∞，在E上几乎处处有限的可测函数列f_n(x)与g_n(x)分别测度收敛于f(x)与g(x)。试证：f_n(x)g_n(x)测度收敛于f(x)g(x)。

设函数列f_n(x)在有界集E上近一致收敛于f(x)，试证：f_n(x)几乎处处收敛于f(x)。

设函数列f_n(x)(n=1,2,...)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明收敛于f.

设mE＞0，f_n(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，而当n→∞时f_n(x)在E上几乎处处收敛，则存在常数C与正测度集，使在E₀上，对一切n有|f_n(x)|≤C。

试问：f_n(x)=(cosx)ⁿ在[0，π]上依测度收敛于0吗？又函数列

在[0,1]上依测度收敛于0吗？

设实函数f(x)，f_n(x)(n=1，2，…)在紧空间X上连续。如果{f_n(x)}是单调函数列，且对每个x∈X，有{f_n(x)}→f(x)，那么{f_n(x))在X上一致收敛于f(x)。

ξ服从(0.1)上的均匀分布，试证：

设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=证明函数列{f_n}在(a,b)内一致收敛于f.