设H|G，且(G:H)=m.证明:对群G中任意元素a都有a^m∈H.

设(G，*)是群，如果对于群G中任意元素a、b都有(a*b)^-1=a^-1*b^-1，证明(G，*)是阿贝尔群。

设＜ G,*＞是一个群,证明:如果对任意的a,b∈G都有是一个阿贝尔群。

设为群,H为G的非空子集:证明:的子群当且仅当对任意元素a,bH有a*b^-1H.

设H，K是群G的两个正规子群，且二者的交为{e}．证明：H与K中的元素相乘时可换．

设u是群G中任意固定元素，如下定义新的运算•：，证明：G关于•运算构成群。

设G是群，H≤G，a∈G，又 am，an∈H， 其中m，n是两个整数．证明：若(m，n)=1，则a∈H．

设群G～

，且同态核是K．证明：G中二元素在

中有相同的象，当且仅当它们在K的同一陪集中．

设a是群的任意一个元素,G(a)为所有与a可交换的元素组成的集合,证明的子群.