设U是Hilbert空间L²[0,2π]中如下定义的算子:证明U是西算子.

证明：设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是对称线性算子，则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：

(a)

(b)

设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。

设X为Hilbert空间,M是X的真闭子空间，证明必含有非零元

设u₁，u₂，…，u_n…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x₁，x₂…，x_n，…}的全体：

∑_n=1^∞‖x_n‖²＜∞

在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义

(x,y)=∑_n=1^∞(x_n，y_n)，

这里x={x₁，x₂，…，x_n…}，y={y₁，y₂，…，y_n…}，证明：U是一个内积空间；若所有u₀都是希尔伯特空间，则u也是希尔伯特空间。

设X是自反Banach空间，，又设对任意{x_n}X当时有Tx_n→Tx(n→∞)，证明T是紧算子．