证明:求(a>0)的牛顿迭代公式 (k=0,1,2,…) 对任意初始值x0>0均收敛.
证明:求(a>0)的牛顿迭代公式
(k=0,1,2,…)
对任意初始值x0>0均收敛.
因为a>0,x0>0,而(k=0,1,2,…),所以xk>0(k=0,1,2,…).于是对一切的k(k=0,1,2,…)有
即有(k=1,2,…),进而又有
(k=1,2,…),
即 xk+1≤xk (k=1,2,…),
故{xk}1∞单调递减有下界.根据单调有界原理知,{xk}对任意初始值.x0>0均收敛,易证其极限为,即牛顿法
(k=0,1,2,…)
对任意初始值x0>0均收敛于
证法2 利用牛顿法的收敛条件证明{xk}收敛性.
设f(x)=x2-a,x∈(0,+∞),则f(0)=-a<0,f(+∞)>0,且f'(x)=2x>0,所以方程f(x)=0在(0,+∞)内有惟一根.又f"(x)=2>0,故当时,有
f(x0)·f"(x0)=(x02-a)·2>0,
因此由定理3知,当时,牛顿法迭代公式
(k=0,1,2,…)
收敛;当时,由
知,从x1起,计算又回到上述的情形,因此当时,牛顿法也收敛;当时,牛顿法必收敛.
综上所述,对任意初始值x0>0,牛顿法迭代公式
(k=0,1,2,…)
均收敛于求(a>0)可以转化为求方程x2-a=0的正根.此时应用牛顿法即可得到迭代公式(k=0,1,2,…).要证明该迭代过程对任意初始值x0>0均收敛,可有两种方法:第一种是利用证明序列{xk}的极限存在来得到迭代法的收敛性;第二种是利用牛顿法的收敛条件来检验其收敛性.下面分别给出这两种证法.