设G是有限群，且H＜G．证明：设G1，G2是两个群．证明：G1×G2≌G2×G1．设G1，G2是两个群．证明：G1×G2≌G2×G1． （）

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

设f和g都是群(G₁，★)到群(G₂，*)的同态映射，证明：(C，★)是(G₁，★)的一个子群，其中，C={x|x∈G₁，且f(x)=g(x)}．

设P是有限群G的一个Sylow P-子群．证明：若G有子群H包含N(P)，则N(H)=H．

设G是一个有限群，P是G的一个Sylow p一子群，H是G的一个p子群．证明：若

．

设H，K是群G的两个有限正规子群，并且(H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群．