设＜ S,*＞是一个半群、证明对于S中的a,b,c,如果a*c=c*a和b*c=c*b,那么,（a*b)*c=c*（a*b)。

设(S，*)是一个半群，而且对于S中的元素a和b，如果a≠b必有a*b≠a*a，试证明：

(1)对于S中的每个元素a，有a*a=a；

(2)对于S中任意元素a，b，有a*b*a=a；

(3)对于S中任意元素a，b，c，有a*b*c=a*c．

设h是从半群的同态,若a是S中的等幂元素,试证明T中也存在等幂元素。

设群G中元素a的阶为n．证明： as=at

n|(s—t)．

设＜ S,*＞是有限可交换独异点，若对于所有的a,b,c∈S.有是一个阿贝尔群。

设是群，求出元素a,b∈S,能使

设是欧氏空间V的一个变换。证明：如果保持内积不变，即对于α，β∈V，，那么它一定是线性的，因而它是正交变换。