试证明：玻尔兹曼分布的涨落为 .

试证明：玻尔兹曼分布的涨落为

.

对于光子气体，试证明

从而，证明光子气体的涨落为

.

试证明：开放系涨落的准热力学公式为

.

在T，V恒定时计算，和．

N个原子在空间规则地排列起来形成点阵结构(理想晶体)．由于热涨落，原子可以离开原来的点阵位置进入点阵的间隙位置，这种空位—间隙原子称为弗仑克尔(Frenkel)缺陷(见图)．

令w代表将原子从原来的位置移到间隙位置所需要的能量，当时，缺陷数n满足，因而缺陷之间的相互影响可以忽略．原子可以进入的间隙位置数N'和N有相同的数量级．试证明在温度T满足的平衡态下，缺陷的平均数n满足下列关系：

或

提示：先利用玻尔兹曼关系S(n)=klnW(n)求出有n个缺陷时的熵，其中W(n)代表从N个点阵位置移下n个原子并把它们分配到N'个间隙位置中的n个位置上的不同方式数．

有n个缺陷时的自由能为F(n)=E(n)-TS(n)=nw-TS(n)，再由自由能极小的条件，即

导出使F取极小的缺陷数n，它代表一定温度T的平衡态的平均缺陷数．

本题是综合应用热力学与统计物理学的一个例子．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为

试证明此链具有遍历性，并求其平稳分布．

设(X₁，X₂，…，X₉)是来自正态总体的样本，Y₁=1/6（X₁+X₂+…+X₆）试证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

设齐次马尔可夫链的一步转移概率矩阵为

试证明此马尔可夫链具有遍历性，并求其平稳分布。

试证明无损耗线活线电压和电流的分布及输人导纳可以表示为下面的形式：

其中，Z₂为负载阻抗。

设X₁,X₂，…为独立同分布的随机变量序列，且方差存在，随机变量N只取正整数值，Var(N)存在，且N与{X_n}独立，试证明：