设A={a,b,c,d},在A上定义一个二元运算如表11.18所示.又设B={a,β,y, },在B上定义一个二元运算

设 ＜ S,* ＞是一个半群,a∈S.在S上定义一个二元运算口,使得对于S中的任意元素x和y.都有

证明:二元运算口是可结合的。

设S={a，b}，则S上可以定义个二元运算，其中有4个运算f₁，f₂，f₃，f₄，其运算如表9-2所示。

则只有满足交换律，满足幂等律，有幺元，有零元。

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

设是一个布尔代数,如果在A上定义二元运算+,·为:证明：是以1为幺元的环。

设G=R×R，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为

〈x₁，y₁〉+〈x₂，y₂〉=〈x₁+x₂，y₁+y₂〉．

又设H={(x，y)|y=2x}，证明：(G，+)为阿贝尔群，(H，+)为子群，并求(x₀，y₀)H，(x₀，y₀)∈G．

设Z为整数集合，在Z上定义二元运算°，x，y∈Z有x°y=x+y-2，那么Z与运算°能否构成群？为什么？

设S=QXQ，其中Q为有理数集合，定义S上的二元运算*，＜a，b＞，＜x，y＞∈S有

设＜B,∧,v,',0,1＞是布尔代数,在B上定义二元运算有

问＜B,⊕＞能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统为什么？

设是布尔代数，在S上定义二元运算⊕，x，y∈S有x⊕y=(x∧y')∨(x'∧y)，那么＜S，⊕＞能否构成代数系统？如果能，指出是哪种代数系统。

设A={a，b，c}，为A上的二元运算，且．

设是布尔代数，在B上定义一个运算中如下：

试证明是一个阿贝尔群。