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[主观题]

设G是一个阶大于1的有限p-群.证明:G的中心C的阶大于1

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第1题

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.（1)证明若a的阶是有限的,则f（a)的阶也是有

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

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第2题

设G是np阶群（p是素数)．证明：若n＜p，则G有p阶正规子群．

设G是np阶群(p是素数)．证明：若n＜p，则G有p阶正规子群．

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第3题

设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数证明:群G有且只有一个2阶子群

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第4题

设G是一个阶数大于2的群，且G的每个元素都满足方程x2=e．证明：G必含有4阶子群．

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第5题

设＜ G,·＞是有限交换群,a是G的m阶元,b是G的n阶元,且GCD（n,m)=1，则a·b的阶为m*n。

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第6题

设G为群，a∈G是有限阶元，对于任意x∈G，证明：|xax^-1|=|a|。

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第7题

（1)设G={0，1，2，3}，若☉为模4乘法，则＜G，☉＞构成Ⓐ。（2)若⊕为模4加法，则＜G，⊕＞是Ⓑ阶群，且是Ⓒ。G中的2阶元是Ⓓ，4阶元是Ⓔ。供选择的答案A：①群;②半群，不是群。B：③有限;④无限。C：⑤Klein四元群;⑥置换群;⑦循环群。D，E：⑧0;⑨1和3;⑩2。

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第8题

设G是一个有限群，P是G的一个Sylow p一子群，H是G的一个p子群．证明：若．

设G是一个有限群，P是G的一个Sylow p一子群，H是G的一个p子群．证明：若

．

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第9题

设k是一个奇数．证明：2k阶群G必有一个k阶子群．

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第10题

证明： 1)在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数； 2)偶数阶群中阶等于2的元

素的个数一定是奇数．

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第11题

设群G是阶为n的有限群，则群G的所有元素的阶都不超过n。（)

设群G是阶为n的有限群，则群G的所有元素的阶都不超过n。()

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